不定式

刚才在看极限相关的内容,书上给了这么个例题:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} \label{eq:1}\tag{1}$$

这个式子本身是个不定式(indeterminate),它是求不出极限的,但是它经过重写之后确实可以求出极限:

$$\lim_{x\to1}{(x+1)}=2 \label{eq:2}\tag{2}$$

那么问题来了,如果它确实有这个极限,为什么我们一开始的式子不可以直接求出结果?“因为分母不可以为0”,但为什么仅仅是转写成了一个比较复杂的形式,其定义域就缩小了呢?为什么这两个本质上相同的东西不能得出一样的结果呢?

嗯?两个本质上相同的东西?

这两个极限写法,本质上相同吗?

仔细想想,好像有什么不对。

我们看回这句话:“因为分母不可以为0”。这句话已经完全解答了这个问题,后面都是我胡诌的。不要觉得除法运算是最基础的一种运算,它其实是个很危险的东西。我们说它是乘法的逆运算,实际上不完全是这样:我们定义了任何数乘以0等于0,但是除法傲娇的很,就是不接受0作为除数。也就是说,除法的定义域本来就比乘法小,只是我们已经习惯性忽略这个事了。

我们说是把式 \(\ref{eq:1}\) 转写成式 \(\ref{eq:2}\) ,其实是找了个在 \(x=1\) 左右相同、但能直接将\(x=1\)带入求值的函数,求它在 \(x=1\) 处的极限。我们称这种方便的函数在 \(x=1\) 处连续。(这也是为什么我们可以利用泰勒展开来求极限)

式 \(\ref{eq:1}\) 的完全形态应该长这样:

$$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\textrm{, where } x\ne1$$

所以往里面代 \(x=1\) 就是单纯的非法(invalid)操作。