幅度调制与边带

在学习AM(调幅)信号的时候看到了信号边带(side band)的内容。但是这个东西书本上没有给出很好的解释,于是打个笔记记述下来,可供各位参考一下。

调制

我们知道,电磁波是空间中电场和磁场的扰动。无线电使用电磁波作为载体,那么为了传送信息,我们就需要产生这样的扰动。大体上是通过给予天线一个交流电流(通过不断改变的电流方向产生扰动),并使其向环境空间放出电磁辐射。这个交流电流的频率也就是其产生的无线电的频率。

当多个波同时到达一个位置的时候,相互之间会发生干扰(interfere),信息的传输于是也受到了影响,尤其是调幅这种基于幅度的调制模式:如果两个相位相差180°、功率相同的调幅信号到达了同一个位置,两个波的做功方向相反,调幅信号就完全被抵消掉了,我们无法接收到任何信息。

为了解决这个问题,ITU(国际电信联盟)和各个国家内部会进行协调,不同的广播电台使用不同的频段,而不同的频段之间也会设置一个空档以避免信号干扰。比如说,中国人民广播电台-中国之声(CHR-1)的广播频率为540kHz,而浙江之声的广播频率为531kHz。

人的声音频率大约是500Hz。这和我们用于发射广播信号的频率完全不在一个数量级上。因此,为了将信号在指定的频率发送出去,我们使用信号调制的技术,将低频的信息附加在高频的载波上,以载波的高频率输送信号。

除了前文所述的频率搬移,信号调制还有许多其他好处。比如说,信号和传输过程剥离,也就是说,传输的内容不会影响到信号的传输过程。你可以发送诸如声音的模拟信号(analogue signal),也可以发送像移动数据(俗称手机流量)一样的数字信号(digital signal)。在接收信息的时候,我们只需要将信号从载波上拆分出来就可以了。

幅度调制

幅度调制(Amplitude Modulation,AM) 是相当基础的一种信号调制方式。通过将需要传输之信号波的幅度附加在载波的幅度上。考虑下图所示的调制器:

幅度调制模型
图1 幅度调制模型。

左上角的波,即载波(carrier wave),包含了递送信号(signal)的大部分功率,一定程度上保证了在一定范围内无线电信号不会因为衰减(attenuation)而损失所载的信息(但幅度调制这种技术的性质决定了其抗噪能力很差,后面会提到);而左下角的波,即需要被发送的信号,控制载波的输出功率。需要注意的是,控制和波的叠加(superpose)不同。叠加是两个波的组合,即对波函数做加法;而控制是一个波基于另一个波的变换,即对波函数做乘法。如果是波的叠加,我们将会得到如下的波形。

波的叠加
图2 波的叠加。注意图中纵轴的范围与图1中有不同。

可见,信号不但没有交由载波承载,还受到了载波波形的干扰。

边带

可能有的人在读上面几段的时候就觉得奇怪了。为什么AM信号也需要频率隔离?不应该只在指定的频率发送吗?不同的频率按理来说不应该出现干扰的来着…

所有类型的调制中都不可避免地会产生一些新的频率元素。频谱(功率-频率图像)中,从载波频率到最远迁移的波频率,这一范围被称为边带(sideband)。幅度调制一般会生成两个在载波两侧镜像的边带,比载波频率低的边带部分被称为下边带(LSB,Lower SideBand),而比载波频率高的边带被称为上边带(Upper SideBand)。

下图是一个边带的示例。需要注意的,一般边频率(side frequency)会是像图中载波一样的尖峰,下图弧形表示的边带并不是边带真正的样子,是边频率可能出现的范围。

无线电信号的功率-频率图像
图3 无线电信号的功率-频率图像。
图片由Heron2绘制,使用Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported许可证许可。更多信息

在调制信号时,我们向载波信号上挂载了信息,而这些信息以边带的形式附着在载波上。如果去除边带的话,我们能够观测到的只有载波的信号。

举个例子:

调制前后频谱
图4 信号调制前后频谱的变化。上两幅信号图像的纵轴为功率(dB);横轴为时间(s)。下两幅频谱的纵轴为功率(dB);横轴为频率(Hz)。

信噪比

前文中有提到,AM信号很容易受到噪音的干扰。这些噪音可以是来自雷电的大气噪音,也可以是其他信号发生器产生的信号。噪音的波形通常是随机的,和调制信号的波叠加之后会改变信号的内容。信噪比(S/N, signal-noise ratio)描述了信号在环境噪音中受影响的程度。一个较高的信噪比表示信号的功率比噪音的功率大得多,那么尽管波形改变了,调制信号中所存储的信息不会受到太大的影响。相反的,过低的信噪比(甚至于1:1这种)很可能导致信号被噪音覆盖。

在无线电信号发散的过程中,电磁波以信号源为中心的一个球面向外运动,距离发射源越远,功率不断降低,信噪比也不断降低。在距离信号源太远的位置,我们无法将信号与噪音相区别,也就是说,信号丢失了。

噪音对AM信号的影响
图5 AM信号在遇到噪音时波形会发生改变。如果信号本身的功率大大高于噪音的功率,噪音带来的影响是可以忽略的。

分贝

这里顺便再补充一个知识点。分贝(dB,decibel)是一个在各种意义上都相当有误导性的单位。

分贝是一个比例的单位,而不是对某一物理量的单位。分贝可以有负值,且可以用来描述不同的属性。首先我们来看分贝的定义:

$$1\textrm{dB} = 10\log_{10}{\frac{X}{X_{ref}}}$$

其中 \(X\) 是要用来参与比较的数值, \(X_{ref}\) 是一物理量的参考值。我们取这两个数值的比值,并取该比值的(以10为底的)对数。最后将这个对数放大10倍。接下来我会逐个介绍这些操作的目的。

在使用dB作为单位的时候,我们往往更加关注物理量的数量级,即不同数字间的相对关系,而不是具体的数字。比如说,1A的电流和5A的电流在实数意义上就有非常大的差别,5A电流发热要厉害太多了。但是换做是声音的强度单位(声压)的话,参考值0dB时,声压仅有60μPa;跑个火车的数值能高达100dB,声压换算过来高达 \(10\times10^{10}\) Pa,但是我们很难分清 \(10\times10^{10}\) Pa 和 \(10.1\times10^{10}\) Pa具体有什么区别。因此,我们更偏向在比较电流的时候使用绝对单位,而在比较响度的时候使用相对单位。

还有一个比较烦人的地方在于,国际标准制约定使用deci-作为前缀的单位表示的是某个单位的十分之一,但是在分贝中,它表示的是十倍,这也就是对数前那个系数10的来历。具体为什么是10,因为取这个系数,大多数在参考值下的结果能够以整数的形式写出,也就是说,单纯为了方便而已。

需要注意的地方

为什么AM信号的边带两侧是镜像的?
边带的频率范围(包括AM信号的两侧边带)被称为带宽(bandwidth)。虽然把信息挂载到某一侧就足够了,但是AM信号的频率是不变的,也就是说,AM并不改变信号的相位角。而我们通过调制向波追加的频率通常都是与载波有相位差的,就必须由另一侧边带平衡。比如说使用下边带边频率,来抵消“调制造成的上边带边频率"对整体频率造成的影响。

原信号频率和调制信号带宽间的关系
带宽是由原信号的频率决定的。对于单一频率的信号,原信号频率到零点距离的两倍即带宽。对于由多个频率的波构成的信号,其中最高的频率到零点距离的两倍为带宽。载波无法承载比自身频率更高的信号:如果有更高频的信号出现,下边带的边缘会跨过零点进入负半轴,而频率不可能为负数。仔细观察图4可以更好的理解这段话。

为什么追加频率会对整体频率造成影响?
前文中有提到,在幅度调制过程中,我们将两个信号相乘,那么回忆三角学的知识:

$$\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\cos(a-b)-\frac{1}{2}\cos(a+b)$$

对于载波频率 \(c\) 和信号频率 \(s\) ,除了一直存在的 \(\sin(2\pi c)\) ,我们还会得到两个边带:上边带 \(\frac{1}{2}\cos(2\pi c+2\pi s)\) 和下边带 \(\frac{1}{2}\cos(2\pi c-2\pi s)\) 。中间的减号使两者的呈现180°的相位差,相位变化得以抵消。

本文章于2018-02-08T13:07:00+08:00更新:

  • 修正了带宽的错误定义;
  • 补充了信噪比的内容;
  • 添加了两幅插图(图4、图5)。

本文章于2018-02-08T22:12:00+08:00更新:

  • 补充了分贝的内容。